گفتاری از مارک کولیوان درباره «کورت گودل و محدودیت های ریاضیات» - سپتامبر ۲۰۰۹

۲۰۷۲

ریاضیات به خویشتن، خودآگاه است

سال ۱۹۰۰، ریاضیات با مجموعه‌ای از معضلات نظری و تناقضاتی روبرو می‌شود که سازگاری تئوری بنیادی آن یعنی نظریه مجموعه‌ها را تهدید می‌کردند. وقوع یک تناقض به این معنی بود که با افسانه‌ها، هیچ تفاوتی ندارد. بیشتر این که اگر یک تناقض در ریاضیات به وقوع بپیوندد هر آنچه بخواهیم را می‌توانیم در آن اثبات کنیم. حتی یک حکم و نقیض آن را!
در این دوره، راسل کسی بود که دانشمندان را از بهشت ریاضی کانتور، یعنی تئوری که قرار بود تمام ریاضیات در آن صورت‌بندی شود، بیرون انداخت؛ او به ریاضی‌دانان ‌نشان داد که نظریه مجموعه‌ها ناسازگار است. هیلبرت ریاضی‌دان نامی آن دوران، تلاش می‌کرد که ما را به بهشت ریاضی برگرداند. حساب برهان و تناهی‌گروی پروژه‌هایی بودند که وی برای برون‌شوی از این مساله تدارک دیده بود. تمام پروژه هیلبرت نیازمند یک ایده بود: نشان دادن این که ریاضیات به واقع سازگار است. در این نقطه قضیه دوم ناتمامیت گودل نشان داد که ما دیگر به بهشت کانتور برنخواهیم گشت: اثبات سازگاری ریاضیات، در فرض سازگاری آن، ممکن نیست.
قضیه دوم ناتمامیت گودل، یک‌بار و برای همیشه نشان داد که ریاضیات دیگر در آن موقعیت برج عاجی که می‌گفتند نیست. قضیه ناتمامیت گودل از سویی نشان داد که پروژه تناهی‌گروی هیلبرت صحیح باطل است و از سوی دیگر نشان داد که ریاضیات چگونه می‌تواند از خود، آگاهی پیدا کند. بسیاری این قضیه را مهم‌ترین دست‌یافت نیمه اول قرن بیستم و یکی از بزرگترین دستاوردهای منطق از دوره ارسطو می‌دانند. این اثبات نشان‌دهنده خودآگاهی ریاضیات به خویشتن است. مثل این که ریاضیات به خویشتن می‌نگرد و چیزی می‌بیند که با انتظارات دانشمندان فاصله زیادی داشت.
این قضیه در دست دانشمندان مختلف سرنوشت عجیبی داشته است. فیلسوفان، فیزیک‌دانان و غیره، هر کدام از این قضیه تفاسیری ارائه کرده اند و البته عجیب نیست اگر برخی از آنها را خودِ گودل می‌دید و تعجب می کرد. اما همه اینها از اهمیت قضیه‌ای سخن می‌گویند که «مارک کولیوان» (Mark Colyvan)، استاد گروه فلسفه دانشگاه سیدنی، تلاش می‌کند ایده‌های اولیه و کلی آن را در این سخنرانی بیان کند.

 

دیدگاه بگذارید

شما اولین پیام را بگذارید

avatar